La respuesta es sencilla, estás obligado a utilizar FBA (Logística de amazon). Si quieres ofrecer un servicio de entrega en 24 horas (1 día, urgente, express), es decir un servicio a la altura de lo que espera cualquier cliente para una entrega en España, la mejor opción que tienes es entrega en 2 o 3 días.
Es verdad que existe la opción Envío en 1 día (premium) y la puedes configurar creando una nueva plantilla de envíos y asignándola a tus productos, pero en la práctica es muy complicado por no decir casi imposible que se active en tus productos (Información textual de amazon: La opción Envío 1 día es una opción de envío Premium que sólo está a disposición de aquellos vendedores que cuentan con un excelente historial de envíos. Ten en cuenta que la mera configuración de la opción de envío Premium no basta para que tus productos sean aptos para Envío 1 día; para ello, tendrás también que cumplir los requisitos para optar a la opción Envío 1 día.). Y si hablamos de cuentas de nueva creación, tendrías que esperar un mínimo de 90 días y tener un ratio de satisfacción del 100% de cara a tus clientes, vamos prácticamente imposible. Y claro, suponiendo que logres configurar envío en un día, cuando amazon quiera te lo quita y a aguantar.
Lo dicho la única opción es enviar tus productos a los almacenes de amazon y que ellos lo hagan todo (pagando una cantidad considerable). Al final tienes que entrar en el juego de amazon si quieres competir entre otros con la propia amazon.